Мета.  Домогтися засвоєння учнями означення правильного многогранника та п’яти видів правильних многогранників; сформувати в учнів поняття про елементи правильних многогранників; вдосконалювати навички розв’язування задач про правильні многогранники на основі знань про многогранні кути, симетрію правильних многогранників та властивості куба; розвивати творчу активність учнів, створювати умови для вияву ініціативи учнів під час вибору завдань; виховувати в учнів прагнення до самовдосконалення, задоволення пізнавальних потреб. Показати застосування многогранників в архітектурі, живопису, хімії та многогранники в природі. Формувати в учнів поняття краси та досконалості геометричних тіл.

Обладнання. Моделі правильних многогранників, слайди про многогранники.

Форма проведення. Урок-презентація.

Епіграф.

Правильних многогранників надзвичайно мало,
але цей дуже скромний за кількістю загін зумів
пробитись у найбільші глибини різних наук.  (Л.Керролл)

І. Перевірка домашнього завдання:
Наприкінці уроку збираю учнівські зошити для перевірки виконання домашнього завдання та ведення зошитів.

ІІ. Мотивація навчальної діяльності
Вступне слово вчителя. Кожний з нас знайомий з найпростішими просторовими математичними фігурами – многогранниками. З деякими з них ви почали знайомитись ще в дитинстві, граючись кубиками та збираючи конструктор. Найпоширеніша дитяча іграшка – кубик дає нам первинні знання про куб – один з видів правильних многогранників.
Жодне геометричне тіло не має такої довершеності та краси, як правильні многогранники. «Правильних многогранників так мало, написав колись Льюїс Керролл, — але цей скромний за кількістю загін зумів увійти в самі глибини різних наук». Льюїс Керролл –англійський письменник, математик, філософ та фотограф. Найбільш відомі його роботи – «Аліса в Країні чудес» і «Аліса в Задзеркаллі».
Сьогодні на уроці ми ознайомимося з поняттям правильних многогранників, їх видами та елементами. Знайдемо правильні многогранники у природі.

 ІІІ. Вивчення нового матеріалу
У курсі планіметрії ви познайомилися з правильними многокутниками. Многокутник називається правильним, якщо у нього всі сторони і всі кути рівні. Існує безліч правильних многокутників.

Опуклий многогранник називається правильним, якщо його грані є правильними многокутниками з однією й тією ж кількістю сторін, а в кожній вершині многогранника сходиться одне і те ж число ребер.

Існує п’ять типів правильних опуклих многогранників:
- правильний тетраедр;
- правильний гексаедр (куб);
- правильний октаедр;
- правильний додекаедр;
- правильний ікосаедр.

Існує тільки п’ять правильних многогранників. Чому?

ІV. Повідомлення учнів
1-й учень. Підтвердити це можна за допомогою розгортки опуклого многогранного кута.
Насправді, щоб отримати який-небудь правильний многогранник, згідно визначення, в кожній вершині має сходитися однакова кількість граней, кожна з яких є правильним многокутником. Сума плоских кутів многогранного кута повинна бути менше 360о. Нехай k – число плоских кутів, які сходяться в одній вершині многогранника. Перебираючи всі можливі цілі розв’язки нерівностей: 60 k < 360, 90 k < 360, 108 k < 360, можна довести, що правильних многогранників лише п’ять.

2-й учень. Цим питанням займався знаменитий математик Л.Ейлер.

  • Правильний тетраедр – складається з чотирьох рівносторонніх трикутників; кожна його вершина є вершиною трьох трикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 180о.
  • Правильний октаедр – складається з восьми рівносторонніх трикутників; кожна вершина октаедра є вершиною чотирьох трикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 240о.
  • Правильний ікосаедр – складається з двадцяти рівносторонніх трикутників; кожна вершина ікосаедра є вершиною п’яти трикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 300о.
  • Куб (гексаедр) – складений з шести квадратів; кожна вершина куба є вершиною трьох квадратів. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині рівна 270о.
  • Правильний додекаедр – складається з дванадцяти правильних п’ятикутників; кожна вершина додекаедра є вершиною трьох правильних п’ятикутників. Отже, сума плоских кутів при кожній вершині дорівнює 324о.

Число многокутників прилеглих до однієї вершини, має бути не меншим, ніж три, але таким, щоб сума кутів, прилеглих до однієї вершини, була меншою від 360о, інакше кути правильного шестикутника дорівнюють 120о і навіть три шестикутника не можуть утворити тригранний кут. Отже, існує лише п’ять типів правильних многогранників.
А як визначити кількість граней, вершин та ребер?

V. Розв’язування вправ (на картках)
1. Знайдіть суму плоских кутів при всіх вершинах:
а) ікосаедра; б) додекаедра (а) 3600о, б) 6480о).
2. Ребро правильного октаедра дорівнює а. Знайдіть відстань між двома протилежними вершинами. (Відповідь: а ).
3. Під яким кутом із центра правильного октаедра видно його ребро?
(Відповідь. 90о).
4. Доведіть, що протилежні грані правильного октаедра паралельні.
5. Знайдіть відстань між мимобіжними ребрами правильного тетраедра з ребром 2 см. (Відповідь: см).

VІ. Цікаві повідомлення
1-й учень. Правильним многогранникам присвячена 13-та книга «Начал» Евкліда. Їх ще називають Платоновими тілами, оскільки вони займають значне місце в філософській картині світу, розробленій великим мислителем Древньої Греції Платоном. Особливе місце в філософії Платона про будову світогляду Тетраедр символізував вогонь, ікосаедр – воду, гексаедр – землю, октаедр – повітря. Додекаедр символізував увесь світогляд і рахувався головним. Гармонійні стосунки древні греки вважали основою світогляду, тому чотири стихії були пов’язані такою пропорцією: земля/вода = повітря/вогонь.
Форму додекаедра Платон надавав усьому Всесвіту, бо вважалось, що ми живемо в середині зводу, який має форму поверхні правильного додекаедра. Саме тому на репродукції картини С.Далі «Таємна вечеря» зображено Ісуса Христа зі своїми учнями на фоні величезного прозорого додекаедра.

2-й учень. У 13 книзі «Начал» Евкліда є доведення того факту, що існує всього п’ять видів правильних многогранників, але Архімеду належить відкриття 13-ти так званих напівправильних многогранників («архімедових тіл»), кожний з яких обмежений не однойменними правильними многокутниками і в яких рівні многогранні кути та однойменні многокутники, причому в кожній вершині сходиться одне й те саме число однакових граней. Кожне з таких тіл може бути вписане в сферу.

3-й учень. Саме ікосаедр опинився в центрі уваги біологів, в їх спірних питаннях щодо форми вірусів. Вірус не може бути зовсім круглим, як вважалося раніше. Щоб встановити його форму, брали різні многогранники, направляли на них світло під тими ж кутами, що й потік атомів на вірус. Виявилося, що тільки один многогранник дає таку ж тінь – це ікосаедр. Його геометричні властивості дозволяють економити генетичну інформацію. Віруси мають просту будову. Кожна вірусна частинка складається з невеликої кількості генетичного матеріалу (ДНК або РНК), поміщеного в білкову оболонку (капсид). Капсид являє собою найчастіше правильний многогранник (ікосаедр).
Ікосаедр за формою нагадує скелет одноклітинного організму феодарії.
Ікосаедр має найбільший об’єм при найменшій площі поверхні. Ця властивість допомагає морському організму долати тиск води.

4-й учень. Розглянувши будову молекули метану (простий вуглевод, безбарений газ без запаху, хімічна формула — CH4), переконуємось, що молекули метану розташовані у вигляді тетраедра.

1-й учень. Взяти хоча б кухонну сіль, без якої ми не можемо обійтись. Відомо, що хлорид натрію утворює кристали з кубічною симетрією. Найбільш великі іони хлору утворюють щільну кубічну структуру, у вільних вузлах якої (у вершинах правильного октаедра) знаходяться іони натрію. Форму правильних многогранників можуть мати й кристали інших речовин. Кристал сурменістого сірчистого натрію має форму тетраедра; кристал алмаза – форму октаедра; кристали сірчистого колчедану – форму додекаедра.

2-й учень. Розглянемо архітектуру і мистецтво:

  • Велика піраміда в Гізі — ця грандіозна єгипетська піраміда є однією із найдавніших чудес світу. Крім того, вона єдина, що збереглася до наших днів.
  • Александрійський маяк. Маяк було побудовано на маленькому острові Фарос у Середземному морі біля берегів Александрії, тому він має таку назву. Фароський маяк складався з трьох мармурових башт, які стояли на масивних кам’яних блоках. Перша башта мала прямокутну форму. Над нею менша — восьмигранна, яка веде до верхньої.
  • В епоху Відродження великий інтерес до форм правильних многогранників виявили скульптори, архітектори, художники. Леонардо да Вінчі (1452 -1519) захоплювався теорією многогранників і часто відображав їх на своїх полотнах. Він навіть проілюстрував правильними та напівпра-вильними многогранниками книгу монаха Луки Пачолі «Про божествену пропорцію.»
  • Національна республіканська бібліотека у Мінську нагадує напівправильний многогранник (Ромбокубооктаедр).
  • Унікальний пам’ятник футбольному м’ячу відкрито 24 серпня на алеї саду Шевченка у Харкові. Бронзового м’яча діаметром у півтора метра встановлено на постамент із чорного граніту на місці, де зазвичай не один рік у недалекому минулому збиралися харківські футбольні фанати.

VІІ. Підсумок уроку

1. Порівняйте свої знання на початку уроку і в кінці.
2. Розвитку яких рис характеру сприяв урок (самостійності, спостережливості, відповідальності)?
3. Які пізнавальні процеси були задіяні на уроці найбільше (мислення, пам’ять, увага, уява)?
4. Якого життєвого досвіду ви набули (володіти собою, захищати свої знання, бути впевненими в собі, поводити себе в незвичних умовах тощо)?
5. Чи отримали ви задоволення від власної праці? Чи вичерпали ви свої можливості? Чи є бажання повторити сьогоднішні відчуття?
6. Охарактеризуйте свій емоційний стан протягом уроку (хвилювались, боялись, дивувались, зосереджувались) та в кінці уроку (задоволені, виснажені, впевнені, раді, успішні).

VIII. Домашнє завдання
(Середній та достатній рівень)
Задача 1. Площа поверхні правильного ікосаедра дорівнює 360 см2. Знайдіть площу однієї грані та ребро ікосаедра.
Задача 2. Виготовити модель правильного або напівправильного многогранника.
Задача 3. Знайдіть об’єм правильного тетраедра, площа поверхні якого дорівнює 12 дм2.

(Високий рівень)
Задача 1. Основою піраміди є грань куба, а вершиною – його центр. Знайдіть об’єм піраміди, якщо ребро куба дорівнює 3 см.
Задача 2. Під яким кутом з центра куба видно його ребро?

IX. ЛІТЕРАТУРА
1. Бевз, Г. П. Математика: 11 клас [Текст]: підруч. / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз. – К.: Генеза, 2011. – 320 с.
2. Погорєлов, О. В. Геометрія: 7-11 клас [Текст]: підруч. / О. В. Погорєлов. – К.: Освіта, 1992. – 351 с.
3. Роганінг, О. М. Геометрія в таблицях і схемах [Текст]: посібник / О. М. Роганінг – Х.:Торсінг плюс, 2010. – 96
4. Апостолова Г. В. : 11 кл.: підруч. для загальноосвітніх навч. закл.: академ. рівнень, профіл. рівень/ Г. В. Апостолова; упорядкув. завдань: Ліпчевського Л. В. та ін.. – К.: Генеза, 2011. – 304 с.:іл..

Завантажити конспект уроку «Правильні многогранники.»

Завантажити презентацію уроку «Правильні многогранники.»